斐波那契-黄金分割法查找算法

斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍:

1. 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
2. 斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618
   

斐波那契(黄金分割法)原理:

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1（F代表斐波那契数列），如下图所示

对F(k-1)-1的理解：

1. 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2]的性质，可以得到（F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1。该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
2. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
3. 但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可，如下面代码。

   while(n>fib(k)-1){
       k++;
   }

代码

package com.company;

import java.util.Arrays;

public class FibonacciSearch {

  public static int maxSize = 20;

  public static void main(String[] args) {
    int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};

    System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 1024));// 0

  }

  //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
  //非递归方法得到一个斐波那契数列
  public static int[] fib() {
    int[] f = new int[maxSize];
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
      f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }
    return f;
  }

  //编写斐波那契查找算法
  //使用非递归的方式编写算法

  /**
   * @param a   数组
   * @param key 我们需要查找的关键码(值)
   * @return 返回对应的下标，如果没有-1
   */
  public static int fibSearch(int[] a, int key) {
    int low = 0;
    int high = a.length - 1;
    int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
    int mid = 0; //存放mid值
    int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
    //获取到斐波那契分割数值的下标
    while (high > f[k] - 1) {
      k++;
    }
    //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
    //不足的部分会使用0填充
    int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
    //实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
    //举例:
    //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
    for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
      temp[i] = a[high];
    }

    // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
    while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
      mid = low + f[k - 1] - 1;
      if (key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
        high = mid - 1;
        //为甚是 k--
        //说明
        //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
        //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
        //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
        //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
        //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
        k--;
      } else if (key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
        low = mid + 1;
        //为什么是k -=2
        //说明
        //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
        //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
        //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]
        //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
        //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
        k -= 2;
      } else { //找到
        //需要确定，返回的是哪个下标
        if (mid <= high) {
          return mid;
        } else {
          return high;
        }
      }
    }
    return -1;
  }
}